Типовые математические схемы моделирования. Непрерывно-детерминированные модели (D-схемы)

Понятие математической схемы

Для исследования характеристик процесса функционирования любой системы математическими методами должна быть проведена формализация этого процесса, т.е. построена математическая модель. Эта задача решается с помощью математических схем.

Математическая схема представляет собой звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учётом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка «описательная модель – математическая схема – математическая модель». Схематично процесс формализации представлен на рис.1.

Рис.1 Схема процесса формализации

Введение понятия математической схемы позволяет рассматривать математику не как метод расчёта, а как метод мышления, как средство формулирования понятий, что является важным при переходе от словесного описания системы к формальному представлению процесса её функционирования в виде математической модели. Исходной информацией при построении математических моделей процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой системы, причем уровень абстрагирования зависит от круга тех вопросов, на которые исследователь системы хочет получить ответы с помощью модели.

В отличие от содержательного словесного описания, образующего описательную модель, формальное описание процесса функционирования системы, представляющее собой математическую модель, не допускает неоднозначной интерпретации, так как представляет собой правило, которое необходимо выполнить для получения результата.

При пользовании математической схемой в первую очередь решается вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе. Кроме того, при построении математической модели необходимо решить вопрос об её полноте. Полнота модели регулируется, в основном, выбором границы между системой и внешней средой. Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные.

В практике моделирования используются математическая схема общего вида и типовые математические схемы.Математическая схема общего вида позволяет формализовать широкий класс систем. Типовые математические схемы, включающие D–схемы, F–схемы, P–схемы, Q–схемы и A–схемы, не обладают общностью, но имеют преимущества простоты и наглядности.

Математическая схема общего вида

При использовании математической схемы общего вида модель объекта моделирования, т.е. исследуемой системы, представляется в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих четыре непересекающихся подмножества (рис. 2):

Рис.2 Модель, построенная на основе математической схемы общего вида

• подмножество совокупности входных воздействий на систему  $X=\left\{x_{i}\right\},i={\overline {1,n_{x}}}$

• подмножество совокупности воздействий внешней среды на систему  $V=\left\{v_{l}\right\},l={\overline {1,n_{v}}}$

•  подмножество совокупности внутренних (собственных) параметров системы   $H=\left\{h_{k}\right\},k={\overline {1,n_{h}}}$

• подмножество совокупности выходных характеристик системы   $Y=\left\{y_{j}\right\},j={\overline {1,n_{y}}}$

При моделировании системы входные воздействия X, воздействия внешней среды V и внутренние параметры системы H являются независимыми (экзогенными) переменными, а выходные характеристики Y – зависимыми (эндогенными) переменными.

Процесс функционирования системы описывается во времени оператором, который в общем случае преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношением вида $Y\left(t\right)=F_{s}\left(X,V,H,t\right)$ Эта зависимость называется законом функционирования системы и обозначается $F_s$. В общем случае закон функционирования системы $F_s$ может быть задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Непрерывно-детерминированные модели (D–схемы)

Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного под­хода на примере использования в качестве математических моделей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функ­ции одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных порядков. Если неизвестные — функции многих переменных, то уравнения называ­ются уравнениями в частных производных, в противном случае при рассмотрении функции только одной независимой переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравне­ниями.

Основные соотношения

Обычно в таких математических моде­лях в качестве независимой переменной, от которой зависят неиз­вестные искомые функции, служит время t. Тогда математическое соотношение для детерминированных систем в общем виде будет ${\overrightarrow {y{}'}}={\overrightarrow {f}}({\overrightarrow {y}},t),{\overrightarrow {y}}(t_{0})={\overrightarrow {y}}_{0}$, где ${\overrightarrow {y{}'}}=d{\overrightarrow {y}}/dt,y=(y_{1},y_{2},...,y_{n}),f=(f_{1},f_{2},...,f_{n})$ - n-мерные, $f\left(y,t\right)$- вектор-функция, которая определена на некото­ром (n+ 1)-мерном (у, t) множестве и является непрерывной. Так как математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы, т. е. ее поведение во времени, то они называют­ся D-схемами(англ. Dynamic System). 

В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравне­ние имеет вид $y{}'=f(y,t)$ Наиболее важно для системотехники приложение D-схем в каче­стве математического аппарата в теории автоматического управле­ния. При проектировании и эксплуатации систем автоматического управления(частный случай динамических систем) необходимо выбрать такие параметры системы, которые бы обеспечивали требуемую точность управления.

Описывая процессы автоматического управления, придерживаются обычно представления реального объекта в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления). Структура многомерной системы автоматического управления общего вида представлена на рис.3, где обозначены эндогенные переменные: х (t) — вектор входных (задающих) воздействий; v (t) — вектор возмущающих воздействий; h'(t) — вектор сигналов ошибки; h "(t) — вектор управляющих воздействий; экзогенные перемен­ные: z (0 — вектор состояний системы S; у (t) — вектор выходных переменных, обычно у (t)=z (t). 

Рис.3 Структура системы автоматического управления

Современная управляющая система — это совокупность про­граммно-технических средств, обеспечивающих достижение объек­том управления определенной цели. Насколько точно объект упра­вления достигает заданной цели, можно судить для одномерной системы по координате состояния y(t).

Разность между заданным Узад (t) и действительным y(t) законами изменения управляемой величины есть ошибка управления h'(t)=y3aд(t)—y(t).

Если предписанный закон измене­ния управляемой величи­ны соответствует зако­ну изменения входного (задающего) воздейст­вия, т. е. x(t)=yзад(t), то h'(t)=x(t)-y(t).

Системы, для кото­рых ошибки управления h'(t) = O во все моменты времени, называются иде­альными. На практике ре­ализация идеальных систем невозможна. Таким образом, ошибка h’(t) — необходимый субстрат автоматического управления, основанного на принципе отрицательной обратной связи, так как для приведения в соответст­вие выходной переменной у (t) ее заданному значению используется информация об отклонении между ними.

Задачей системы автома­тического управления является изменение переменной у (t)согласно заданному закону с определенной точностью (с допустимой ошиб­кой). При проектировании и эксплуатации систем автоматического управления необходимо выбрать такие параметры системы S, кото­рые обеспечили бы требуемую точность управления, а также устой­чивость системы в переходном процессе. Если система устойчива, то представляют практический интерес поведение системы во времени, максимальное отклонение регулиру­емой переменной y(t)в переходном процессе, время переходного процесса и т. п. Выводы о свойствах систем автоматического упра­вления различных классов можно сделать по виду дифференциаль­ных уравнений, приближенно описывающих процессы в системах. Порядок дифференциального уравнения и значения его коэффициен­тов полностью определяются статическими и динамическими пара­метрами системы S.

Таким образом, использование D-схем позволяет формализо­вать процесс функционирования непрерывно-детерминированных систем S и оценить их основные характеристики, применяя анали­тический или имитационный подход, реализованный в виде соответ­ствующего языка для моделирования непрерывных систем или ис­пользующий аналоговые и гибридные средства вычислительной техники.

Непрерывно-детерминированные модели широко используютсяв машиностроении при исследовании систем автоматического управления, выборе амортизирующих систем, выявлении резонансных явлений и колебаний в технике и т. п.