ФЭНДОМ



Теория массового обслуживания. Случайный процесс

Теория массового обслуживания (теория очередей) — раздел теории вероятности, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящие из неё, длительности ожидания и длины очередей. В теории массового обслуживания используются методы теории вероятностей и математической статистики.

Предмет теории массового обслуживания - установление зависимости между характером потока заявок, производительностью отдельного канала, числом каналов и успешностью (эффективностью) обслуживания.

В качестве характеристик эффективности обслуживания могут применяться различные величины и функции, например: средний процент заявок, получающих отказ и покидающих систему необслуженными; среднее время «простоя» отдельных каналов и системы в целом; среднее время ожидания в очереди; вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию; закон распределения длины очереди и т. д. Каждая из этих характеристик описывает, с той или другой стороны, степень приспособленности системы к выполнению потока заявок, иными словами - ее пропускную способность.

Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, парикмахерские и т. п. Каждая такая система состоит из какого-то числа обслуживающих единиц - каналами обслуживания. В качестве каналов могут фигурировать: линии связи; лица, выполняющие те ли иные операции; различные приборы и т. п. Системы массового обслуживания могут быть одно и многоканальными.

Работа любой системы массового обслуживания состоит в выполнении поступающего на нее потока требований или заявок. Заявки поступают одна за другой в случайные моменты времени. Обслуживание поступившей заявки продолжается какое-то время, после чего канал освобождается и снова готов для приема следующей заявки. Каждая система массового обслуживания, в зависимости от числа каналов и их производительности, обладает какой-то пропускной способностью, позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок.

Случайный процесс (случайная функция) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.

Случайным называется процесс u(t), мгновенные значения которого являются случайными величинами.

Семейство случайных величин ξ = {ξ1, . . . , ξn} называется n-мерным случайным вектором, если эти величины имеют совместное распределение. Это означает, что для всех x1, . . . , xn R определено значение вероятности P(ξ1 < x1, . . . ξn < xn) = F(x1, . . . , xn). Данное равенство задает совместную функцию распределения n-мерного случайного вектора ξ. Рассмотрим теперь последовательность случайных величин ξ1, ξ2, . . . . Данная последовательность имеет совместное распределение, если для любого n = 1, 2, . . . конечный набор случайных величин ξ1, . . . , ξn имеет совместное распределение (является n-мерным случайным вектором). Следующим шагом на пути увеличения количества рассматриваемых случайных величин естественно считать набор случайных величин, зависящих от непрерывно меняющегося параметра t.

Пусть T — счетное или несчетное множество действительных чисел.

Случайным процессом называется семейство случайных величин ξ(t), t T, такое, что для каждого n = 1, 2, . . . и для любых t1, . . . , tn T случайные величины ξ(t1), . . . , ξ(tn) имеют совместное распределение. Таким образом, существует вероятность

P(ξ(t1) < x1, . . . ξ(tn) < xn) = F(x1, t1; . . . ; xn, tn).

Данное равенство задает функцию F(·): (R × T)n→ [0, 1], которая называется 'n'-мерная функция распределения случайного процесса.

http://www.resolventa.ru/data/metodstud/servtheory.pdf