ФЭНДОМ



Основные соотношенияПравить

Обобщенный подход базируется на понятии  агрегативной системы (от англ,  aggregate system), представляющей собой формальную схему общего вида, которую будем называть  А-схемой. Этот подход позволяет описывать поведение непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем.

Комплексное решение проблем, возникающих в процессе создания и машинной реализации модели, возможно лишь в случае, если моделирующие системы имеют в своей основе единую формальную математическую схему, т. е.  А-схему.  А-схема должна  выполнять несколько функций:

  • являться адекватным математическим описанием объекта моделирования;
  • позволять в упрощенном варианте (для частных случаев) проводить аналитические исследования.

Представленные требования несколько противоречивы, но в рамках обобщенного подхода на основе  А-схем удается найти между ними компромисс.

При агрегативном подходе  первоначально дается формальное определение объекта моделирования – агрегативной системы. При агрегативном описании сложный объект (система) разбивается на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие их взаимодействие.  В случае сложной организации полученных подсистем, подсистемы декомпозируются до уровней в которых они могут быть удобно математически описаны. В результате сложная система представляется в виде многоуровневой конструкции из взаимосвязанных элементов, объединенных в подсистемы различных уровней.

Элементом А-схемы является агрегат. Связь между  агрегатами (внутри системы $ S $ и с внешней средой $ E $) осуществляется с помощью оператора сопряжения R. Агрегат может рассматриваться как А-схема, т. е. может разбиваться на элементы (агрегаты) следующего уровня.

Характеристиками агрегата являются:

  • множества моментов времени $ T $
  • входных сигналов $ X $
  • выходных сигналов $ Y $,
  • состояний $ Z $ в каждый момент времени $ t $.

Пусть  переход агрегата из состояния $ z(t_1) $ в состояние $ z(t_2) \neq z(t_1) $ происходит за малый интервал времени, т.е. имеет место скачок $ \delta z $. Переходы из состояния $ z(t_1) $ в $ z(t_2) $ определяются внутренними параметрами агрегата $ h(t) \in H $ входными сигналами $ x(t) \in X $.

В начальный момент времени $ t0 $ состояния $ z $ имеют значения, равные $ z^0 $, т. е. $ z^0=z(t_0) $, которые задаются законом распределения $ L[z(t_0)] $.  

Пусть изменение состояния агрегата при  входном сигнале $ x_n $ описывается случайным оператором $ V $. Тогда в момент поступления в агрегат $ t_n \in T $ входного сигнала $ x_n $состояние определяется$ z(t_n + 0) = V[t_n, z(t_n), x_n] $.

Если на интервале времени $ (t_n, t_{n+1}) $ нет поступления сигналов, то для $ t \in (t_n, t_{n+1}) $ состояние агрегата определяется случайным оператором $ U $ в соответствии с соотношением $ z(t) = U[t, t_n, z(t_n + 0) $.

Совокупность случайных операторов $ V $ и $ U $ рассматривается как оператор переходов агрегата в новые состояния. При этом процесс функционирования агрегата состоит из скачков состояний $ \delta z $ в моменты поступления входных сигналов $ x $ (оператор $ V $) и изменений состояний между этими моментами $ t_n $ и  $ t_{n+1} $ (оператор $ U $). На оператор $ U $ не накладывается никаких ограничений, поэтому допустимы скачки состояний $ \delta z $ в моменты времени, не являющиеся моментами поступления входных сигналов $ x $. В дальнейшем моменты скачков $ \delta z $ будем называть особыми моментами времени $ t_{\delta} $, а состояния $ z(t_{\delta}) $ – особыми состояниями А-схемы.

Для описания скачков состояний $ \delta z $ в особые моменты времени $ t_{\delta} $ используется случайный оператор $ W $, который представляет собой частный случай оператора $ U $, т.е.$ z(t_{\delta} + 0) = W[t_{\delta}, z(t_{\delta})] $.

В множестве состояний $ Z $ выделяется такое подмножество $ Z^{(Y)} $, что если  $ z(t_{\delta}) $ достигает $ Z^{(Y)} $, то это состояние является моментом  выдачи выходного сигнала. Выходной сигнал можно описать оператором выходов $ G $

$ y = G[t_{\delta}, z(t_{\delta}) $.

Агрегатом будем понимать любой объект,  который описывается следующим образом$ A = <T, X, Y, Z, Z^{(Y)}, H, V, U, W, G> $.

Структура агрегативной системыПравить

Рассмотрим А-схему, структура которой приведена на рис.1

Image005

Структура агрегативной системы

Функционирование А-схемы связано с переработкой информации, передача послед­ней на схеме показана стрелками. Вся информация, циркулирующая в А-схемеделится на внешнюю и внутреннюю. Внешняя информация поступает от внешних объектов, внутренняя инфор­мация вырабатывается агрегатами самой А-схемы. Обмен информацией между А-схемой и внешней средой Е происходит через агрегаты, называющиеся полюсами А-схемы. Различают входные полюсы на которые поступают x-сообщения (агрегаты At, А2, Аб), и выход­ные полюсы А-схемы, выходная информация которых является у- сообщениями (агрегаты А1',' А3, А4, А5, А6). Агрегаты, не являющиеся полюсами, называются внутренними.

Каждому агрегату А-схемы Ап подводятся входные контакты (In) с элементарными входными сигналами xi(t), i = 1..In, и выходные контакты (Jn) с сигналами yj(t), j = 1...Jn.

Введем ряд предположений:

  1. взаимодей­ствие между А-схемой и вне­шней средой Е, а также меж­ду отдельными агрегатами внутри системы S осуществ­ляется при передаче сигна­лов;
  2. для опи­сания сигнала достаточно некоторого конечного набо­ра характеристик;
  3. элементарные сигналы мгновенно передаются в А-схеме независимо друг от друга по элементарным каналам;
  4. к входному контакту любого элемента А-схемы подключается не более чем один элементарный канал, к выходному контакту — любое конечное число элементар­ных каналов при условии, что ко входу одного и того же элемента А-схемы направляется не более чем один из упомянутых элементар­ных каналов.

Взаимодействие А-схемы с внешней средой Е рассматривается как обмен сигналами между внешней средой Е и элементами А-схемы, поэтому внешняя среда является фиктивным элементом системы А0, вход которого содержит I0 входных контактов  $ X_i^{(0)},i=\overline{{1,I_0}} $ и выход — J0 выходных контактов  $ Y_j^{(0)},j=\overline{{1,J_0}} $

Таким образом, каждый агрегат Ап  можно охарактеризовать множеством входных кон­тактов X1(n), Х2(n) ..., XIn(n)= {Xi(n)},

и множеством выходных контактов Y1(n)Y2(n) ..., УJ(n) = {Уj(n)}, где $ n=\overline{0,N_A} $

Пара множеств {X i(n)}, {Уj(n)} представляют математическую модель агрегатакоторая описывает сопряжения его с прочими элементами А-схемы и внешней средой Е.

В силу предположения о независимости передачи сигналов каж­дому входному контакту

  • $ X_i^{(n)}\in\ \bigcup_{n=0}^{N_A}\left \{X_i^{(n)} \right \} $

соответствует не более чем один выходной контакт

  • $ Y_l^{k}\in\ \bigcup_{n=0}^{N_A}\left \{Y_j^{(n)} \right \} $

где

  • $ \bigcup_{n=0}^{N_A}\left \{X_i^{(n)} \right \} $ – множество входных контактов всех элементов  А-схемы и внешней среды  Е
  • $ \bigcup_{n=0}^{N_A}\left \{Y_j^{(n)} \right \} $ – множество выходных контактов всех элементов  А-схемы и внешней среды  Е, с которыми она связана элементарным каналом; 
  • $ k,n=\overline{0,N_A} $

Введем оператор сопряжения R: оператор $ Y_i^{k}=R(X_i^{(n)}) $ с областью определения в множестве $ \bigcup_{n=0}^{N_A}\left \{X_i^{(n)} \right \} $ и областью значений в множестве $ \bigcup_{n=0}^{N_A}\left \{Y_j^{(n)} \right \} $, сопоставляющий входному контакту $ X_i^n $ выходной контакт $ Y_i^k $, связанный с ним элементарным каналом.

Совокупность множеств $ \left \{X_i^{(n)}\right \},\left \{ Y_j^{(n)}\right \} $ и оператор R представляют схему сопряжения элементов в систему.

Оператор сопряжения можно задать в виде таблицы, в которой на пересечении строк с номерами элементов (агрегатов) п и столбцов с номерами контактов i рас­полагаются пары чисел k, l, указывающие номер элемента и номер контакта l, с которым соединен контакт Хi(n). (таблица)

п

i

1

2

3

4

5

0

1.1

3.1

4.1

5.1

6.1

1

0.1

2

1.3

0.2

0.3

3

1.2

2.1

4

3.2

2.1

2.2

5

2.2

6

5.2

0.4

Если столбцы и строки такой таблицы пронумеровать парами n,и kl соответственно и на пересечении поме­щать 1 для контактов n,и k, l, соединенных элементарным каналом и 0 в противном случае, то получим матрицу смежности ориен­тированного графа, вершинами которого являются контакты аг­регатов, а дугами — элементарные каналы А-схемы.

В более сложных случаях могут быть использованы многоуровневые иерархические схемы сопряже­ния. Схема сопряжения агрегата, определяемая оператором Rмо­жет быть использована для описания весьма широкого класса объектов.

Упорядоченную совокупность конечного числа агрегатов  An, агрегата  А0 и оператора  R можно представить  А-схемой при следующих условиях:

  1. каждый элементарный канал, передающий сигналы во внешнюю среду должен начинается в одном из выходных каналов первого агрегата А-схемы; каждый элементарный канал, передающий сигналы из внешней среды должен заканчиваться на одном из выходных каналов А-схемы;
  2. сигналы в А-схеме передаются непосредственно от одного агрегата к другому без устройств, которые способны отсеивать сигналы, по каким-либо признакам;
  3. согласование функционирования агрегатов А-схемы во времени;
  4. сигналы между агрегатами предаются мгновенно, без искажений и перекодирования, изменяющего структуру сигнала.