ФЭНДОМ


Моделирование систем на основе анализа размерностей и теории подобия


Анализ размерности (англ. Dimensional analysis — «размерный анализ» или «пространственное изучение»; чаще говорят «соображения размерности» или «метрические соображения») — инструмент, используемый в физикехимиитехнике и нескольких направлениях экономики для построения обоснованных гипотез о взаимосвязи различных параметров сложной системы. Неоднократно применялся физиками на интуитивном уровне не позже XIX века.

Суть метода в простейшем случае заключается в том, что для поиска выражения одного из параметров исследуемой системы через другие из последних составляется формула (их произведение в каких-то степенях), имеющая нужную размерность; часто именно она и оказывается искомым соотношением (с точностью до безразмерного множителя).

Простейший пример: если обозначить размерности физической величины буквами MLT, и поставить им в соответствие массурасстояниевремя, то такая физическая величина, как скорость, может быть представлена как «расстояние / время», то есть как (L/T), а сила может быть представлена как «масса × ускорение» или «масса × расстояние/время²» или (ML/T²).

С помощью таких же соотношений можно выразить мощностьимпульс и другие величины, в том числе весьма необычные, такие, как «вязкость» или «скорость переноса мощности»[1][2].

Выбор той или иной системы базовых размерностей не сводится к математике, а определяется физикой задачи. После выбора системы размерностей необходимо определить величины, характерные для системы (характерные величины). Например, размеры шара могут быть охарактеризованы его радиусом, а размеры кругового цилиндра — двумя величинами (естествен выбор радиуса цилиндра и его длины, но в некоторых задачах может быть удобна пара диаметр-объем или иной набор величин). Характерность величины связана не только с физическими свойствами системы, но и с интересующими нас вопросами. Например, для определения площади земельного участка важно знать какие-либо величины, характеризующие размер, а отражающие свойства не релевантны этой задаче. Однако если вопрос состоит в определении температуры у поверхности, то альбедо земли, наряду со многими другими величинами, является существенным параметром, в то время как размер участка не важен.

Из выбранных характерных величин составляются все независимые комбинации, дающие размерность интересующей нас величины. В простых случаях возможна лишь одна такая комбинация (например, если известен радиус шара  и его масса , а интересует плотность материала , то существует лишь одна возможная комбинация исходных величин, совпадающая с искомой по размерности: ). В более сложных задачах комбинаций может быть несколько. Иногда требуется найти не скалярную величину, а функцию (например, распределение скорости жидкости в трубе). В таких случаях наряду с анализом размерностей необходимо учитывать дополнительные физические соображения

Для того, чтобы исследование конструкций проводить на основе физического моделирования, необходимо знать законы этого моделирования, т.е. знать, как перейти от натурной конструкции к модельной и обратно. Эти законы устанавливаются с помощью теорий «Анализа уравнений» и «Анализа размерностей». При установлении законов моделирования необходимо различать две разновидности моделирования. К первой разновидности можно отнести такие конструкции, работа которых изучена теоретически и, следовательно, описывается известными уравнениями (например, дифференциальными уравнениями в частных производных). Для таких конструкций (т.е. натуры и модели) подобие можно установить, исходя из «Анализа уравнений». Ко второй разновидности моделирования можно отнести такие конструкции, работа которых теоретически изучена слабо или полностью не изучена и, следовательно, не может быть представлена в виде определенных уравнений. Для таких конструкций подобие можно установить, исходя из «Анализа размерностей» на основании p-теоремы размерностей. Однако следует иметь в виду, что в некоторых случаях «Анализ размерностей» может привести к неверным заключениям, а именно:

можно ошибиться, не добрав величин, которые характеризуют рассматриваемое явление;

в уравнениях связи встречаются иногда размерные постоянные величины, которые трудно обнаружить при подборе величин для анализа размерностей;

величины нулевой размерности выпадают из контроля анализа размерностей;

в анализ размерностей могут быть ошибочно включены величины, не относящиеся к рассматриваемому явлению;

анализ размерностей не может провести разделения величин одинаковой размерности, но имеющих различный физический смысл в уравнениях связи.

Анализ размерностей не учитывает условия однозначности явления, и поэтому не вводит моновалентов (определяющих критериев подобия) в критериальные уравнения, т.е. в методе «Анализа размерностей» отсутствуют прямые способы нахождения определяющих параметров. По существу этот метод применяется тогда, когда параметры задачи уже определены. Он дает слишком мало или вообще ничего не дает для исследования и проверки тех физических данных, которые используются для нахождения параметров, за исключением чисто интуитивного выбора их из системы физических характеристик. Анализ размерностей бессилен проверить соблюдение двух основных правил теории подобия.

1. Включать в рассмотрение все уравнения связи данного явления.

2. Не вводить никаких других уравнений, не относящихся к рассматриваемому явлению.

Из анализа размерностей не ясны способы определения безразмерных комплексов, наиболее важных для данной задачи, и нет никакой возможности установить, какие из них обеспечат лучшие соотношения для частных задач. Анализ размерностей не указывает условий, при которых можно пренебречь одним или несколькими комплексами, что является существенным для установления правил приближенного подобия и соотношения для сложных систем. Вместе с этим, анализ размерностей является простым и достаточно эффективным средством нахождения зависимостей в случаях, когда общая картина явления ясна и выяснена природа всех составных элементов системы. Например, в случаях с подобными уравнениями. Поскольку доказывать подобие в таких случаях не нужно (оно дано изначально), то достаточно просто найти безразмерные комплексы. Анализ размерностей - наилучший выбор в подобных случаях. Простой и эффективный, он позволяет достигать результата в наименьшее число шагов.

ПОДОБИЯ ТЕОРИЯ - учение об условиях подобия физ. явлений. П. т. основана на учении о размерностях физ. величин (см.Размерностей анализ)и служит основой моделирования. П. т. устанавливает критерии подобия разл. физ. явлений, позволяющие с их помощью изучать свойства самих явлений. Явные и неявные функциональные связи между критериями подобия, к-рые получают с помощью П. т. (т. н. критериальные зависимости) способствуют пониманию сложных фпз. процессов и помогают интерпретировать результаты как эксперим. исследований, так и числ. расчётов, объём к-рых прогрессивно возрастает по мере развития числ. методов и совершенствования ЭВМ. П. т. позволяет формулировать фнз. закономерности и извлекать идеи из огромной массы расчётных или эксперпм. результатов. 

Физ. процесс (явление) может определяться полем характеризующих его физ. величин т. е. распределением этих величин в пространстве с координатами х1, х2, х3 и во времени t:

В безразмерной форме поле описывается зависимостью

где безразмерная зависимая переменная  может представлять собой либо отношение к нек-рому характерному её значениюлибо безразмерную комбинацию, в к-рую обязательно входит величина  То же относится к безразмерным величинам 

Переход к безразмерным переменным позволяет устанавливать подобие полей физ. величины.  Физ. явления, процессы или системы подобны, если в сходственные моменты времени в сходственных точках пространства значения переменных величин, характеризующих состояние одной системы, пропорц. соответствующим величинам другой системы. Физ. подобие является обобщением элементарного и наглядного понятия геом. подобия, при к-ром существует пропорциональность (подобие) сходственных геом. элементов подобных фигур или тел. При фпз. подобии поля соответствующих (одноимённых) параметров двух систем подобны в пространстве и во времени. Напр., при кинематич. подобии существует подобие полей скорости для двух рассматриваемых движений; при динамич. подобии реализуется подобие систем действующих сил или силовых полей разл. фпз. природы (сил тяжести, сил давления, сил вязкости и т. п.); механич. подобие (подобие двух потоков жидкости или газа, подобие двух упругих систем и т. п.) предполагает наличие геом., кинематич. и динампч. подобий; при подобии тепловых процессов подобны соответствующие поля темп-р и тепловых потоков, при электродинамич. подобии - поля токов, нагрузок, мощностей, эл--магн. сил. Все перечисленные виды подобия - частные случаи физ. подобия. 

Два физ. процесса или явления подобны, если по заданным характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пересчётом, к-рый аналогичен переходу от одной системы единиц измерения к другой. Для осуществления пересчёта необходимы коэф. пропорциональности (коэф. подобия) - "переходные масштабы". Размерные физ. параметры, входящие в критерии подобия, могут принимать для подобных систем сильно различающиеся значения, одинаковыми должны быть лишь безразмерные критерии подобия. Это свойство подобных систем и составляет основу моделирования. 

С развитием исследований сложных физ. и физ--хим. процессов, включающих механич., тепловые, хим. и иные явления, развиваются и методы П. т. для этих процессов; напр., устанавливаются условия подобия процессов трения и износа узлов и деталей машин, кинетики физ--хим. превращений, подобия и моделирования планетных атмосфер и др. 
Если в рассматриваемых физ. явлениях или системах существует равенство не всех, а лишь нек-рых независимых критериев подобия, то говорят о неполном, или частичном, подобии. Такой случай наиб. часто встречается на практике. При этом важно, чтобы влияние критериев, равенство к-рых не соблюдается, было незначительно или малосущественно на протекание рассматриваемых физ. процессов. 
Практич. применения П. т. весьма обширны. Она даёт возможность предварительного качественно-теоретич. анализа и выбора системы определяющих параметров сложных физ. явлений. П. т. - основа для правильной постановки экспериментов и обработки их результатов. В сочетании с дополнит. соображениями, полученными из ур-ний, описывающих физ. явление, из экспериментов или числ. расчётов, П. т. приводит к новым существенным результатам.