ФЭНДОМ



Марковский случайный процессПравить

Случайный процесс, протекающий в системе S, называется марковским (или «процессом без последействия»), если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени  вероятность любого состояния системы в будущем (при t >) зависит только от ее состояния в настоящем (при t=) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т. е. как развивался процесс в прошлом).

Другими словами, в марковском случайном процессе будущее развитие зависит только от его настоящего состояния и не зависит от «предыстории» процесса.

Рассмотрим элементарный пример марковского случайного процесса. По оси абсцисс  случайным образом перемещается точка . В момент времени  точка  находится в начале координат  и остается там в течение одной секунды. Через секунду бросается монета; если выпал герб - точка  перемещается на одну единицу длины вправо, если цифра - влево. Через секунду снова бросается монета и производится такое же случайное перемещение, и т. д. Процесс изменения положения точки (или, как говорят, «блуждания») представляет собой случайный процесс с дискретным временем  и счетным множеством состояний

12321

Схема возможных переходов для этого процесса.

12321.gif

Покажем, что этот процесс - марковский. Действительно, представим себе, что в какой-то момент времени  система находится, например, в состоянии  - на одну единицу правее начала координат. Возможные положения точки через единицу времени будут  и  с вероятностями 1/2 и 1/2; через две единицы - , ,  с вероятностями 1/4, ½, 1/4 и так далее. Очевидно, все эти вероятности зависят только от того, где находится точка в данный момент , и совершенно не зависят от того, как она пришла туда.

Поток событийПравить

Потоком событий называется последовательность однородных событий, происходящих в какие-то, вообще говоря, случайные моменты времени.

Поток событий называется простейшим потоком событий, если он обладает следующими свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности:

1. Поток событий называется стационарным,  если вероятность появления одного или нескольких событий на участке времени длины T зависит только от длины T этого участка и не зависит от того, в каком месте оси времени этот участок располагается.

2. Поток событий называется потоком с отсутствием последействия (без последействия),  если события,  составляющие поток, появляются в случайные моменты времени независимо друг от друга.

3. Поток событий называется ординарным, если события,  составляющие поток, происходят поодиночке, а не парами, тройками и т.д.

Интенсивностью (плотностью)  потока событий называется среднее число событий, происходящих в единицу времени.

Простейший поток событий близко связан с распределением Пуассона.

123211.gif

Формула Пуассона

Вероятность того, что на отрезке времени длины T произойдет ровно k событий из простейшего потока с интенсивностью λ ,  выражается формулой Пуассона.

Длина отрезка времени между последовательными событиями из простейшего потока событий с интенсивностью λ является случайной величиной, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром λ.

Плотность показательного распределения определяется по формуле

1

Плотность показательного распределения