ФЭНДОМ


Дискретно-детерминированные модели. Автоматы Мили и Мура

Особенности дискретно - детерминированного подхода на этапе формализации процесса функционирования систем рассмотрим на примере использования в качестве математического аппарата теории автоматов. Теория автоматов – это раздел теоретической  кибернетики, в котором изучаются математические модели – автоматы. На основе этой теории система представляется в виде автомата, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени. Понятие «автомат» варьируется в зависимости от характера конкретно изучаемых систем, от принятого уровня абстракции. ДДМ являются предметом рассмотрения теории автоматов (ТА). ТА - раздел теоретической кибернетики, изучающей устройства, перерабатывающие дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени.

Конечный автомат имеет множество внутренних состояний и входных сигналов, являющихся конечными множествами. Автомат задаётся F- схемой:

F=< Z, X, Y, ϕ, ψ, z0>,                                   (1)

где z,x,y - соответственно конечные множества входных, выходных сигналов (алфавитов) и конечное множество внутренних состояний (алфавита). z0 - начальное состояние; ϕ (z,x) - функция переходов; ψ (z,x) - функция выхода. Автомат функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т.е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного, выходного сигнала и внутреннего состояния. Абстрактный автомат имеет один входной и один выходной каналы.

В момент t, будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять сигнал x(t) и выдать сигнал y(t)= ψ [z(t),x(t)], переходя в состояние z(t+1)= ϕ [z(t),x(t)]. Абстрактный конечный автомат (КА) в начальном состоянии z0 принимая сигналы x(0), x(1), x(2) … (входное слово) выдаёт сигналы y(0), y(1), y(2)… (выходное слово).

Существуют F- автомат 1-ого рода (Мили), функционирующий по схеме:

z(t+1)= ϕ [z(t),z(t)], t=0,1,2…                                    (1)

y(t)= ψ [z(t),x(t)], t=0,1,2…                                        (2)

F-автомат 2-ого рода:

z(t+1)= ϕ [z(t),z(t)], t=0,1,2…                                    (3)

y(t)= ψ [z(t),x(t-1)], t=1,2,3…                                    (4)

Автомат 2-ого рода, для которого

y(t)= ψ [z(t)], t=0,1,2,…                                               (5)

т.е. функция выходов не зависит от входной переменной x(t), называется автоматом Мура.

По числу состояний конечные автоматы бывают с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием. При этом согласно (2), работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу x(t) определённый выходной сигнал y(t), т.е. реализует логическую функцию вида:

y(t)= ψ [x(t)], t=0,1,2,…

Эта функция называется булевой, если алфавиты X и Y, которым принадлежат значения сигналов x и y состоят из 2-х букв.

По характеру отсчёта времени (дискретному) F- автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных автоматах моменты времени, в которые автомат "считывает" входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. Реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт синхронизации. Асинхронный F- автомат считывает входной сигнал непрерывно и поэтому, реагируя на достаточно длинный водной сигнал постоянной величины x, он может, как это следует из 1-5, несколько раз изменить своё состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдёт в устойчивое.

Чтобы задать конечный F - автомат необходимо описать все элементы множества F = (Z, X, Y, ϕ, ψ, z0)т. е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов, причем среди множества состояний необходимо выделить состояние , z0 в котором автомат находился в момент времени t=0. Существует несколько способов задания работ F - автоматов, но наиболее часто используются табличный, графический и матричный.

В табличном способе задания используется таблицы переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы - его состояниям. При этом обычно 1-ый столбец слева соответствует начальному состоянию z0. На пересечении i-ой строки и j-ого столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение функции переходов, а в таблице выходов - функции выходов. Для F- автомата Мура  обе таблицы можно совместить, получив т.н. отмеченную таблицу переходов, в которой над каждым состоянием zk автомата, обозначающим столбец таблицы, стоит соответствующий этому состоянию, согласно (5), выходной сигнал.

При другом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершин дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал xk вызывает переход из состояния zi в состояние zj, то на графе автомата дуга, соединяющая вершину zi  с вершиной zj обозначается xk. Для того, чтобы задать функцию переходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами. Для автома-тов Мили эта разметка производиться так: если входной сигнал xk действует на состояние zi, то согласно сказанному получается дуга, исходящая из zi¬ и помеченная xk; эту дугу дополнительно отмечают выходным сигналом y. Для автомата Мура аналогичная разметка графа такова: если входной сигнал xk, действуя на некоторое состояние автомата, вызывает переход в состояние zj, то дугу, направленную в zj и помеченную xk, дополнительно отмечают выходным сигналом y. На рис. 1 приведены заданные ранее таблицами F- автоматы Мили F1 и Мура F2 соответственно.

Безымянный7

Рисунок 1. Автомат Мили (а) и Мура (б)

При решении задач моделирования часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица С=|| cij ||, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы - состояниям перехода. Элемент cij=xk/yS в случае автомата Мили соответствует входному сигналу xk, вызывающему переход из состояния zi в состояние zj и выходному сигналу yS, выдаваемому при этом переходе. Для автомата Мили F1, рассмотренного выше, матрица соединений имеет вид:

Безымянный8

Для F- автомата Мура элемент cij равен множеству входных сигналов на переходе (zizj), а выход описывается вектором выходов:

Безымянный9

i-ая компонента которого выходной сигнал, отмечающий состояние zi